Als zoon van een van de grondleggers van de Rotterdamse haven was Muller bestemd om handelsman te worden. Dit voerde hem naar Zuidelijk Afrika, waar de kiem werd gelegd voor zijn grootste passie: reizen. In een tijd van stoomschepen en moeizame verbindingen zag Muller bijna alle werelddelen, waarover hij een reeks boeken schreef. Zijn finest hour was echter de periode dat hij consul-generaal was voor de Oranje-Vrijstaat. In die hoedanigheid was hij ook betrokken bij de Tweede Boerenoorlog. Tijdens de Eerste Wereldoorlog leidde Muller een vluchtelingenkamp voor Belgen; in het interbellum was hij gezant in Boekarest en Praag.
Hendrik Muller liet zijn niet onzienlijke vermogen na aan een fonds dat zijn naam zou dragen, en dat tot de dag van vandaag tal van projecten subsidieert.